欧拉:“他是我们所有人的导师!”

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摘要

欧拉是一位300年前的人物,可他距离我们并不遥远,因为他为人类创造的智慧财富我们每天都在享用。今天所有的中学生都知道:在几何中用a、b、c与A、B、C分别表示一个三角形的三条边与三个内角,用π表示圆周率;在三角函数中使用

欧拉是一位300年前的人物,可他距离我们并不遥远,因为他为人类创造的智慧财富我们每天都在享用。今天所有的中学生都知道:在几何中用a、b、c与A、B、C分别表示一个三角形的三条边与三个内角,用π表示圆周率;在三角函数中使用基本的符号,例如sinA表示A角的正弦函数等等;在代数中用i表示虚数单位,也即是“-1的平方根”,用f(x)表示函数;在立体几何中揭示多面体的欧拉公式,即顶点数-棱数 面数=2。这些统统都是欧拉的创造。以欧拉冠名的定理、常数和公式随处可见。此外,欧拉还涉足物理、天文、建筑、音乐乃至哲学,并且成就辉煌。

后世的数学家们无不推崇欧拉。大数学家拉普拉斯谦卑地说:“他是我们所有人的导师”;瑞士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯说:“若是没有欧拉的众多科学发现,今天的我们将过着完全不一样的生活。”

数学与神学 困难抉择

欧拉于1707年4月15日出生在巴塞尔,一个瑞士西北部与法国和德国毗邻的小城。美丽的莱茵河蜿蜒穿城而过,瑞士最古老的高等学府巴塞尔大学就在这里。

欧拉的父亲是位专职的传道牧师,但是非常喜爱数学。在这位乡村牧师的书房里,除了神学书籍之外,就是数学书籍。他给童年的欧拉讲过许多有趣的数学故事。例如,印度国王舍罕打算奖赏那发明了象棋的大臣,问大臣想要什么。聪明的大臣请求赏赐一些麦粒,要求的数量是:在棋盘的第一格里放1粒,第二格里放2粒,第三格里放4粒,第四格里放16粒……依此类推,把棋盘上的64格都放满。舍罕国王和众人都未曾料到,国库内的麦子都搬光了以后,棋盘格子的多一半还空着呢!

这个“幂级数求和”问题的故事,深深震撼了欧拉的心灵,使他感到了数字的力量与迷人。在父亲的书房里,10岁的欧拉自学了德国数学家鲁道夫写的《代数学》。

欧拉渐渐展现出他那过人的智慧,那善于解决实际问题的超级才能。他的牧师父亲不仅“牧人”也牧羊,羊群是他家的主要生活来源,欧拉则是牧童。当家里的羊群不断增多接近百只的时候,父亲决定扩大羊圈。他计划建造一个长方形新羊圈,长40米,宽15米,面积正好600平方米。算一下需要110米的材料做围栏,但他只有100米材料,于是打算缩小羊圈的面积。这时候,欧拉却告诉父亲,只要改变羊圈桩脚的位置,造一个25米见方的正方形羊圈,材料足够,面积还会增加到625平方米呢!

牧师认为儿子智力非凡,得让他接受优良的教育。牧师年轻时曾在巴塞尔大学读神学,从而结识了那里的数学与物理学教授雅各布·伯努利和约翰·伯努利,这两兄弟都是著名的大数学家。

约翰·伯努利教授很快就发现了欧拉的天分,决定加意培养。他推荐欧拉进入了巴塞尔大学,那年欧拉仅仅13岁。欧拉主修神学,在必修的神学课程之外,少年欧拉也学习令他入迷的数学,成为约翰·伯努利教授的学生。欧拉鹤立鸡群,这令伯努利教授非常惊喜,开始对欧拉因材施教,单独授课,指导他一步一步地走向数学的前沿。

1722年,15岁的欧拉在巴塞尔大学获得学士学位。次年,欧拉又获得了硕士学位。他是这所古老大学有史以来最年轻的硕士。

当时彗星轨道的计算问题是一个摆在所有天文学家面前的棘手难题。没有人想到,欧拉攻克这个难题仅仅用了三天三夜。他提出了一套计算彗星轨道的新方法,其计算的基本原则沿用至今。但欧拉为此付出了惨痛的代价,他累得病倒了,并从此失去了右眼的视力,那年他才28岁。

欧拉在这段时间里几乎与世隔绝,没有社交酬酢,没有会议交流,唯有闭门钻研,读书写作。《欧拉全集》中的一大部分就是他在这个时期的作品。欧拉能如此罕见地笔耕多产,很大程度上是因为他对数学的极度热爱与眷恋。他说:“数学家与艺术家一样充满激情。米开朗琪罗以对上帝无比的眷恋,一笔一笔地在大教堂的天花板上描绘出那美轮美奂的图画,我则是一笔一笔地描述数学,它是上帝的花园中那些美丽迷人的花卉。”

人们说17世纪是牛顿的时代,18世纪无疑属于欧拉,那时欧洲各国数学家们谈论的都是“欧拉的数学”,他的名声已经传遍了欧洲大陆。

然而,欧拉自始至终固守他那来自基督教家庭,自幼就建立起来的信仰。虽然欧拉没有成为一位专职传道士,但他笃信基督。那浸润在灵魂深处的信仰,赋予了欧拉一颗仁爱宽厚之心。欧拉品格高尚,为人谦卑,即使在成为举世瞩目的大数学家后,也不忘师恩,继承和发扬了大师风范,提携培育新人,以使科学事业薪火相传。

当时,19岁的法国后起之秀拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”。这个问题属于一类所谓“广义极值”的问题,它的研究与解决产生了一个新的数学分支“变分法”。这个名词就是欧拉定的,当时他也在研究这一类问题。欧拉同拉格朗日一样,也找到了解决这类问题的一般方法,但他故意压下自己的论文,而让拉格朗日率先发表其研究成果。拉格朗日成为“变分法”的开创者,一举成名。后世的数学家们明白了真相,如今的教科书里公正地称欧拉和拉格朗日都是“变分法”的创始人:“变分法”中的基本方程就以欧拉的名字命名;“变分法”中的一条非常基本与重要的原理则被称为欧拉—拉格朗日定理。

黑暗里再造辉煌

欧拉在他快60岁的时候,左眼又患上了白内障。欧拉视力一天天衰退,他做研究完全靠心算推导。在还能朦朦胧胧地看见东西的几年里,他用粉笔大字把想到的算式与推理步骤写在一块大黑板上,再口述一些必要的文字说明,解释他的想法与推导过程,让大儿子或学生记录下来。而在完全失明后,他就只能凭借自己那超级记忆力和心算能力,进行数学计算与推导,继续发现一条又一条的数学公式和定理了。

如此工作长达17年,直至逝世。他研究了天文学中的“三体问题”,一个刻画太阳、地球和月亮在相互引力下运动规律的难题。欧拉特别地对于“月球的运动与摄动”问题进行了深入研究,建立了月球围绕地球运动的完整理论和准确计算方法。他的研究报告问世后立即引起轰动。众所周知,这是牛顿生前曾经尝试过,但却未能解决而抱憾终生的大问题。

此外,欧拉酷爱古典文学,他能背诵古代罗马诗人维吉尔的史诗《安涅尔》。他认为那诗歌的结构和韵律尽善尽美,诗句词语优美典雅,堪称文学典范。

优美的诗歌在欧拉心中引起强烈的共鸣。这表现在凡他做的数学,都呈现出特殊的优雅,结构严谨清晰,推理天衣无缝,运算简洁顺畅,该详细解释的地方绝不吝惜笔墨,其他部分则言简意赅。欧拉的文章如行云流水,也如乐曲,跌宕起伏。据统计,欧拉一共写了886本著作,生前出版了530本。

1771年,彼得堡发生一起大火,欧拉的住宅也被烈焰吞噬,双目失明的老欧拉被大火围困,幸亏一个仆人奋不顾身闯入火海,把他背了出来。无情的大火烧毁了他的房子、藏书与手稿,不仅给欧拉,更给全人类造成了无可弥补的损失。

苦难尽 巧思传世

欧拉20岁时,受凯瑟林一世的邀请加入了圣彼得堡科学院。1733年,欧拉与格塞尔小姐结婚。她的父亲是位画师,是彼得大帝游历西欧国家时,把他从瑞士请来的。两家是同病相怜的异乡异客,欧拉与格塞尔相濡以沫。若干年后,妻子病逝,欧拉续娶的则是她的同父异母妹妹。两个女人一共生了13个孩子,欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文,稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。

欧拉喜欢他的孩子,他居然能一面抱着小孩子,一面给大孩子讲故事,心里却在思考他的数学。在欧拉的遗物中,有孩子们小时候用过的“围嘴”和擦嘴纸巾,因为那上面有欧拉随手写上去的运算或推理的手迹。他常常和孩子们一起做数字游戏,每天晚上把儿女们聚在一起,给他们讲有趣的数学故事,临睡前,再领着孩子们祷告。

然而好景不长,欧拉一生中多次遭遇丧子之痛,13个子女中就有8个先后夭折。1776年,他的第二个妻子也过世了。

1783年9月18日下午,欧拉邀请同事们一起吃饭,朋友前来祝贺欧拉成功地建立了描绘气球上升运动的数学模型。聚会之后,欧拉又列出了如何计算刚刚发现不久的天王星轨道的要点。之后,年迈的欧拉一边喝茶吸烟,一边还不忘逗他的孙子们发笑。突然,他的烟斗从手中落地,口中喃喃:“我要死了。”欧拉最后的一刻终于到了。苦难结束了。他活了76岁。

欧拉死了,但他留给后人的著作浩如烟海。他生前说过,他的遗稿足够《圣彼得堡科学院学报》刊登20年。欧拉和他的数学将会流传万代。

(胡新平摘自《人物》

2008年第8期)

(作者:袁传宽 字数:3619)

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